Yuk Belajar

Matematika

Turunan Fungsi

Theorema Turunan

Turunan Rantai

Turunan Trigonometri

1. Turunan Fungsi

Gradien
Dimana, adalah fungsi terhadap P dan b adalah fungsi terhadap a. Jika titik-titik tersebut di dekatkan hingga (x – a = 0), f(x) – f(a) = 0 maka nilai x mendekati a. Sehingga garis PQ merupakan garis singgung yang sudah berhimpit. Gradien garis singgung tersebut akan berupa limit.
Contoh:
  1. Diketahui suatu kurva dengan fungsi f(x) = x2. Tentukan titik kemiringan garis singgung pada fungsi f(x) di P(a,a2).

2. Diketahui f(x) = 13x – 6. Carilah gradien f’(4).

Kesimpulan:
Gradien garis singgung adalah turunan suatu fungsi pada titik tertentu dan gradien garis singgung hanya terdapat dalam fungsi polinomial sedangkan fungsi linier tidak memiliki garis singgung.

2. Theorema Turunan

  • Theorema I (Aturan Konstanta)
    Jika pada suatu fungsi merupakan bentuk konstanta, f(x) = k, maka f’(x) = 0
  • Theorema I (Aturan Fungsi Identitas) Jika suatu fungsi f(x) = x, maka f’(x) = 1
  • Teorema III (aturan pangkat)
    Jika sebuah fungsi f(x) = xn, dan n adalah bilangan bulat. Maka f’(x) = n.xn-1

    Contoh :
    f(x) = 2x3, f’(x) = 6x2

  • Teorema IV (kelipatan konstanta)
    Jika k = konstanta, dan f(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan f(x) = kx, maka kf’(x)

    Contoh :
    f(x)    = 6x3. Carilah f’(x).
    f’(x) = 6.3x3-1
    f’(x) = 18x2

  • Teorema V (aturan jumlah)
    Jika suatu fungsi f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan.
    Maka (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x)
    Contoh :
    f(x)  = x3 + x2. Carilah f’(x).
    f’(x) = 3x2 + 2x
  • Teorema VI (aturan selisih)

    Jika f dan g merupakan sebuah fungsi yang terdiferensialkan.
    Maka (f-g)’(x) = f’(x) – g’(x)
    Contoh :
    f(x)  = x4 – 2x2. Carilah f’(x).
    f’(x) = 4x3 – 4x

  • Teorema VII (aturan perkalian)

    Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan.
    Maka (f.g)’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) atau dimisalkan dengan u’.v + u.v’
    Contoh :
    f(x) = (x-5)(2x+4)2
    misal, u = (x-5), u’ = 1 dan v = (2x+4)2, v’ = (8x+16)
    f’(x) = u’.v + u.v’
            = 1(2x+4)2 + (x-5)(8x+16)
            = 12x2 – 8x – 64

  • Teorema VIII (aturan pembagian)

    Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan. Maka  

atau dimisalkan dengan:

Contoh:

Misal, u = (x+2), u’ = 1 dan v = (x2+5), v’ = 2x

3. Turunan Rantai Fungsi Aljabar

Jika y = f(u) dan u = g(x). Maka    dimana u adalah fungsi g terhadap x.

Contoh:
Fungsi f(x) = (3x+1)10. Carilah f’(x).

Misal u = 3x+1 maka

Contoh:
Tentukan turunan/diferensial dari fungsi berikut :

Contoh:
Tentukan turunan/diferensial dari fungsi berikut :

1.

2.

3.

4. Turunan Trigonometri

Rumus Dasar :

Rumus Pengembangan :

Contoh :
Tentukan turunan trigonometri berikut.